Немного о фракталах
Фракталы — это удивительные геометрические объекты, долгое время почему-то остававшиеся незамеченными. Даже в воображении математиков фракталы появились сравнительно недавно, около ста лет назад. В действительности фракталы буквально окружают нас. Фракталы — это то, что подобно самому себе. Их трудно точно измерить с помощью циркуля или линейки, клеток или кубиков. Примерами подобных объектов могут быть береговые линии, русла рек, облака, горы, овраги, ветви деревьев, наросты кристаллов, то есть все ветвящееся и самоподобное.
Определяющее свойство самоподобной геометрической фигуры состоит в том, что её можно разрезать на конечное число одинаковых фигур, подобных исходной. Разумеется, самоподобие в природе допускает случайные отклонения.
Самоподобие, то есть повторение объекта в бесконечной последовательности масштабов, приводит к тому, что фракталы обладают дробной размерностью. Что такое дробная размерность?
Известно, что самый простой способ измерить длину кривой — аппроксимировать ее прямолинейными отрезками. Чем короче отрезки, тем выше точность. Если попытаться измерить длину обыкновенной линии с помощью циркуля или линейки, то по мере уменьшения раствора циркуля или цены деления линейки в пределе получаем постоянную величину, которая принимается за длину линии.
С фрактальной кривой не так. По мере уменьшения масштаба измерений результат меняется, длина фрактальной кривой увеличивается до тех пор, пока цена деления не станет соизмеримой с толщиной линии. Получается, что длина фрактальной линии бесконечна, поскольку линия повторяет сама себя. Таким образом, фрактальная кривая — это уже не линия, но еще и не поверхность. Она обладает переходной, то есть дробной, размерностью. Такой же результат даст измерение площади фрактальной поверхности или объема трехмерного фрактального тела. В этих случаях получится также дробная размерность.
Этим занимается фрактальная геометрия. Сам термин фрактал был введен в 1975 голу родоначальником этого направления в математике Бенуа Б. Мандельбротом при описании множеств, тогда же и была применена дробная размерность.
Сначала построение фрактальных моделей производилось с учебной целью для наглядности описываемого процесса. Однако авторы, поразившись красоте получаемых компьютерных изображений, стали создавать модели для всех описываемых фрактальных процессов. В конце концов, устроили выставку изображений, которая неожиданно имела огромный успех у ненаучной публики, и даже несколько раз издали альбомы с изображениями моделей фрактальных процессов. Вот тогда-то и возникла идея создания графического продукта на основе моделей фрактальной геометрии.
Фракталы в изобразительном искусстве — это отдельная тема. Даже простые фрактальные рисунки всегда привлекают к себе внимание, не говоря об изображениях с более сложной фрактальной геометрией.
Использование фрактальной математики в графических редакторах открыло новую страницу в компьютерной графике. Удивительная способность фрактальных объектов очень естественно имитировать рельеф земной поверхности, скопление облаков или переплетение ветвей привела к созданию поразительных фрактальных пейзажей, изображающих фантастические фрактальные миры.
В притягательности фрактальной геометрии вы можете убедиться, работая с пакетом графических программ Meta Creation, где фрактальная геометрия присутствует как в текстуре бумаги, так и в рисунке, сделанном кистью, пастелью, карандашом или любым другим инструментом.
На рис. 3.3 приведена иллюстрация модели множества Мандельброта. Рисунок 3.4 демонстрирует эффект увеличения разрешающей способности (иллюстрации фрактальной геометрии заимствованы из книги «Красота фракталов» X. О. Пайтген, П. X. Рихтер).
Рис. 3.3. Иллюстрация множества Мандельброта
Рис. 3.4. Иллюстрация эффекта увеличения разрешающей способности
Ярким примером использования фрактальной геометрии являются фильтры KPT — Kais Power Tools, входящие в комплект поставки Painter 8.
